Thư mục

Hỗ trợ trực tuyến

  • (Đoàn Thị Ái Phương)

Thống kê

  • truy cập   (chi tiết)
    trong hôm nay
  • lượt xem
    trong hôm nay
  • thành viên
  • Bỏ phiếu

    Cám ơn bạn đã ghé thăm thư viện. Bạn vui lòng cho biết bạn là ai?
    Giáo viên mầm non trong Tỉnh
    Giáo viên Tiểu học trong Tỉnh
    Giáo viên Trung học trong Tỉnh
    Giáo viên ngoài Tỉnh
    Học sinh

    Ảnh ngẫu nhiên

    IMG_0047.JPG IMG_0047.JPG IMG_0187.JPG IMG_0178.JPG IMG_0033.JPG 3b.jpg PHIM_TONG_HOP_HOA_PHUONG.flv VIDEO_CAC_CHAU_MN_HOA_PHUONG_THAM_QUAN_TH_KIM_DONG.flv VIDEO_XEM_MUA_ROI.flv 20170505_153647.flv 20170505_144013.jpg 20170505_163243.jpg 20170505_163245.jpg 20170505_1634341.jpg 20170505_163445.jpg 20170505_144245.jpg 20170505_154122.jpg 20170425_173736.jpg 20170425_174217.jpg 20170425_172646.jpg

    Thành viên trực tuyến

    0 khách và 0 thành viên

    Sắp xếp dữ liệu

    Chuyên đề bài tập tích phân - Phân dạng tích phân - Luyện thi đại học tích phân

    Nhấn vào đây để tải về
    Hiển thị toàn màn hình
    Báo tài liệu có sai sót
    Nhắn tin cho tác giả
    (Tài liệu chưa được thẩm định)
    Nguồn:
    Người gửi: Nguyễn Văn Bình (trang riêng)
    Ngày gửi: 01h:04' 05-03-2017
    Dung lượng: 1.7 MB
    Số lượt tải: 501
    Số lượt thích: 0 người
    Chuyên đề
    CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN
    CÔNG THỨC
    Bảng nguyên hàm
    Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp
    Nguyên hàm của những hàm số thường gặp
    Nguyên hàm của những hàm số hợp
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    I. ĐỔI BIẾN SỐ

    TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

    1. Đổi biến số dạng 2
    Để tính tích phân  ta thực hiện các bước sau:
    Bước 1. Đặt t = u(x) và tính .
    Bước 2. Đổi cận: .
    Bước 3. .
    Ví dụ 7. Tính tích phân .
    Giải
    Đặt 
    
    .
    Vậy .
    Ví dụ 8. Tính tích phân .
    Hướng dẫn:
    . Đặt 
    ĐS: .
    Ví dụ 9. Tính tích phân .
    Hướng dẫn:
    Đặt 
    ĐS: .
    Ví dụ 10. Tính tích phân .
    Hướng dẫn:
    Đặt ; đặt 
    ĐS: .
    Chú ý:
    Phân tích , rồi đặt  sẽ tính nhanh hơn.
    2. Đổi biến số dạng 1
    Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính  ta thực hiện các bước sau:
    Bước 1. Đặt x = u(t) và tính .
    Bước 2. Đổi cận: .
    Bước 3. .
    Ví dụ 1. Tính tích phân .
    Giải
    Đặt 
    
    .
    Vậy .
    Ví dụ 2. Tính tích phân .
    Hướng dẫn:
    Đặt 
    ĐS: .
    Ví dụ 3. Tính tích phân .
    Giải
    Đặt 
    
    .
    Vậy .
    Ví dụ 4. Tính tích phân .
    Hướng dẫn:
    .
    Đặt 
    ĐS: .
    Ví dụ 5. Tính tích phân .
    ĐS: .
    Ví dụ 6. Tính tích phân .
    ĐS: .
    3. Các dạng đặc biệt
    3.1. Dạng lượng giác
    Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân .
    Hướng dẫn:
    Đặt 
    ĐS: .
    Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân .
    Hướng dẫn:
    Đặt 
    ĐS: .
    Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân .
    Giải
    
    .
    Vậy .
    Ví dụ 14. Tính tích phân .
    Hướng dẫn:
    Đặt .
    ĐS: .
    Biểu diễn các hàm số LG theo : 
    3.2. Dạng liên kết
    Ví dụ 15. Tính tích phân .
    Giải
    Đặt 
    
    
    .
    Vậy .

    Tổng quát:
    .
    Ví dụ 16. Tính tích phân .
    Giải
    Đặt 
    
     (1).
    Mặt khác  (2). Từ (1) và (2) suy ra .
    Tổng quát:
    .
    Ví dụ 17. Tính tích phân  và .
    Giải
     (1).
    
    Đặt ( (2).
    Từ (1) và (2)(.
    Ví dụ 18. Tính tích phân .
    Giải
    Đặt 
    
    .
    Đặt 
    
    
    
    .
    Vậy .
    Ví dụ 19. Tính tích phân .
    Hướng dẫn:
    Đặt 
    ĐS: .

    Tổng quát:
    Với , , hàm số  chẵn và liên tục trên đoạn  thì
    .
    Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên  và thỏa .
    Tính tích phân .
    Giải
    Đặt , 
    
    
    .
    Vậy .

    3.3. Các kết quả cần nhớ
    i/ Với , hàm số  lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì .
    ii/ Với , hàm số  chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì .
    iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)
    .
    Trong đó
    n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn:
    
    .
    Ví dụ 21. .
    Ví dụ 22. .

    II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
    1. Công thức
    Cho hai hàm số  liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có
    
    
    .
    Công thức:
     (1).
    Công thức (1) còn được viết dưới dạng:
     (2).
    2. Phương pháp giải toán
    Giả sử cần tính tích phân  ta thực hiện
    Cách 1.
    Bước 1. Đặt  (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm  và vi phân  không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân  phải tính được.
    Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả.
    Đặc biệt:
    i/ Nếu gặp  với P(x) là đa thức thì đặt .
    ii/ Nếu gặp  thì đặt .
    Cách 2.
    Viết lại tích phân  và sử dụng trực tiếp công thức (2).
    Ví dụ 1. Tính tích phân .
    Giải
    Đặt  (chọn )
    .
    Ví dụ 2. Tính tích phân .
    Giải
    Đặt 
    .
    Ví dụ 3. Tính tích phân .
    Giải
    Đặt 
    .
    Đặt 
    
    .
    Chú ý:
    Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
    Ví dụ 7. Tính tích phân .
    Hướng dẫn:
    Đặt .
    Ví dụ 8. Tính tích phân .
    ĐS: .

    III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
    Phương pháp giải toán
    1. Dạng 1
    Giả sử cần tính tích phân , ta thực hiện các bước sau
    Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

    
       
    
    
         
    
    
    Bước 2. Tính .
    Ví dụ 9. Tính tích phân .
    Giải
    Bảng xét dấu
    
      
    
    
        
    
    .
    Vậy .
    Ví dụ 10. Tính tích phân .
    ĐS: .
    2. Dạng 2
    Giả sử cần tính tích phân , ta thực hiện
    Cách 1.
    Tách  rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
    Cách 2.
    Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
    Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
    Ví dụ 11. Tính tích phân .
    Giải

    Cách 1.
    
    
    .
    Cách 2.
    Bảng xét dấu
    x
     –1 0 1 2
    
    x
     – 0 + ( +
    
    x – 1
     – – 0 +
    
    
    .
    Vậy .
    3. Dạng 3
    Để tính các tích phân  và , ta thực hiện các bước sau:
    Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số  trên đoạn [a; b].
    Bước 2.
    + Nếu  thì  và .
    + Nếu  thì  và .
    Ví dụ 12. Tính tích phân .
    Giải
    Đặt .
    Bảng xét dấu
    x
    0 1 3 4
    
    h(x)
     + 0 – 0 +
    
    .
    Vậy .
    Ví dụ 13. Tính tích phân .
    Giải
    Đặt .
    Bảng xét dấu
    x
    0 1 2
    
    h(x)
     – 0 +
    
    .
    Vậy .

    IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
    Phương pháp giải toán
    1. Dạng 1
    Để chứng minh  (hoặc ) ta chứng minh  (hoặc ) với .
    Ví dụ 14. Chứng minh .
    Giải
    Với .
    2. Dạng 2
    Để chứng minh  ta chứng minh  với .
    Ví dụ 15. Chứng minh .
    Giải
    Với 
    .
    Vậy .
    3. Dạng 3
    Để chứng minh  ta thực hiện các bước sau
    Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được .
    Bước 2. Lấy tích phân .
    Ví dụ 16. Chứng minh .
    Giải
    Với .
    Vậy .
    Ví dụ 17. Chứng minh .
    Giải
    Với 
    
    .
    Vậy .
    Ví dụ 18. Chứng minh .
    Giải
    Xét hàm số  ta có
    
    
    
    .
    Vậy .
    4. Dạng 4 (tham khảo)
    Để chứng minh  (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện
    Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho .
    Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho .
    Ví dụ 19. Chứng minh .
    Giải
    Với 
    
    .
    Đặt 
    
    .
    Vậy .
    Ví dụ 20. Chứng minh .
    Giải
    Với 
    
    .
    Vậy .

    V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

    A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
    1. Diện tích hình thang cong
    Cho hàm số  liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường  và trục hoành là .
    Phương pháp giải toán
    Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
    Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân .
    Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  và Ox.
    Giải
    Do  nên
    .
    Vậy  (đvdt).
    Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  và Ox.
    Giải
    Bảng xét dấu
    x
    0 1 3
    
    y
     – 0 + 0
    
    
    
    .
    Vậy  (đvdt).
    2. Diện tích hình phẳng
    2.1. Trường hợp 1.
    Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  là .
    Phương pháp giải toán
    Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số  trên đoạn [a; b].
    Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân .
    2.2. Trường hợp 2.
    Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  là . Trong đó  là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình  .
    Phương pháp giải toán
    Bước 1. Giải phương trình .
    Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số  trên đoạn .
    Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân .

    Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , .
    Giải
    Đặt 
     (loại).
    Bảng xét dấu
    x
    0 1 2
    
    h(x)
     – 0 + 0
    
    
    
    .
    Vậy  (đvdt).
    Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường .
    Giải
    Đặt 
    .
    Bảng xét dấu
    x
    1 2 3
    
    h(x)
    0 + 0 – 0
    
    
    .
    Vậy  (đvdt).
    Chú ý:
    Nếu trong đoạn  phương trình  không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng công thức .
    Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi .
    Giải
    Ta có 
    
    .
    Vậy  (đvdt).
    Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  và trục hoành.
    Giải
    Ta có 
    
    
    
    .
    Vậy  (đvdt).
    Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  và .
    Giải
    Phương trình hoành độ giao điểm
    
    .
    Bảng xét dấu
    x
    0 1 3 5
    
    
     + 0 – 0 +
    
    
    .
    Vậy  (đvdt).
    Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi .
    Giải
    Phương trình hoành độ giao điểm
    
    
    
    Bảng xét dấu
    x
    0 1 3
    
    
     – 0 +
    
    
    .
    Vậy  (đvdt).

    Chú ý:
    Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có).

    B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
    1. Trường hợp 1.
    Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường , ,  và  quay quanh trục Ox là .
    Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu do hình tròn  quay quanh Ox.
    Giải
    Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là .
    Phương trình 
    
    .
    Vậy  (đvtt).
    2. Trường hợp 2.
    Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường , ,  và  quay quanh trục Oy là .
    Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse  quay quanh Oy.
    Giải
    Tung độ giao điểm của (E) và Oy là .
    Phương trình 
    
    .
    Vậy  (đvtt).
    3. Trường hợp 3.
    Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường ,  và  quay quanh trục Ox là .
    Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường ,  quay quanh Ox.
    Giải
    Hoành độ giao điểm .
    
    .
    Vậy  (đvtt).
    4. Trường hợp 4.
    Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường ,  và  quay quanh trục Oy là .
    Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường ,  quay quanh Oy.
    Giải
    Tung độ giao điểm .
    
    
    .
    Vậy  (đvtt).
    VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP
    Tính I= Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: 
    Tính: . Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:
    .
    Chứng minh rằng:

    BÀI TẬP TỰ GIẢI
    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=, biết rằng 
    Tính các tích phân sau:
    A= B= C=
    Tính các tích phân sau:
    A= B= C*= D*=
    Tính các tích phân sau:
    I= J= K=
    L= M= N= C=
    Tính các tích phân sau:
    A= B= C=
    D= E=
    Tính các tích phân sau:
    A= B*= C*=
    D*= E= 
    Tính:
    A= B= C= D= E=
    F= G= H= I= J=
    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
    a. x=1; x=e; y=0 và y= b. y=2x; y=3(x và x=0
    c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=.
    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x3(2x2+4x(3 (C) và tiếp tuyến với đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
    Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=(/3, y=0.
    Tính diện tích hình phẳng D.
    Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox.
    Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1 khi nó quay quanh:
    Trục Ox.
    Trục Oy.

    (Hết(
     
    Gửi ý kiến